- Theorie und Beispiele
Einführung in Funktionen
1. Der FunktionsbegriffMit Hilfe von Funktionen können Wechselbeziehungen zwischen zwei oder mehreren Variablen kompakt dargestellt werden. Im Folgenden wollen wir uns auf die Wechselbeziehung von zwei Variablen konzentrieren. Die beiden Variablen nennen wir x und y. Die Funktion kürzen wir mit f ab.
Unter einer Funktion f kann man sich mathematisch einen Input-Output Mechanismus zwischen den zwei Variablen vorstellen. Die Funktion transformiert einen Input x in einen Output y. Die folgende Zeile verdeutlicht diesen Mechanismus:
\[Input\to Funktion\to Output\]
oder anders ausgedrückt:
\[x\to f\to y\]
Das heisst, der Input x wird in eine Funktion f eingegeben, f transformiert dieses x und raus kommt der Output y. Verkürzt kann dieser Zusammenhang wie folgt dargestellt werden:
\[y=f(x)\]
Die letzte Zeile kann folgendermassen interpretiert werden: y kommt als Output raus, wenn ich x in die Funktion f eingebe. Die Funktion f hängt also von x ab. Diese Abhängigkeit wird deutlich gemacht, indem zu f in Klammer ein x hingeschrieben wird. Sie finden weitere Informationen und Simulationen zum Funktionsbegriff als Input/Output Mechanismus unter diesem Link.
Die folgende Aufgabe soll verdeutlichen, dass für eine beliebige Funktion bei Vorgabe eines bestimmten Inputs x der Output y berechnet und bei Vorgabe eines bestimmten Output y der Input x kalkuliert werden kann.
Aufgabe 1:
Gegeben sei die Funktion \[f(x)=1+\frac{1}{x}\]
a) Bestimmen sie den Funktionswert für x=2!
Lösung: Der Input x=2 wird in die Funktion eingesetzt. \[f(2)=1+\frac{1}{2}=1.5\] Daraus folgt, dass die Funktion f den Wert 1.5 annimmt für x=2.
b) Für welches x nimmt die Funktion den Wert 3 an?
Lösung: \[f(x)=3\Rightarrow 1+\frac{1}{x}=3\Rightarrow \frac{1}{x}=3-1=2\Rightarrow 1=2\cdot x\Rightarrow x=0.5\]
Daraus folgt, dass die Funktion f den Wert 3 annimmt für x=0.5.
Eine gute Illustration zur Wechselbeziehung zwischen dem Input x und dem Output y für eine willkürliche Funktion finden Sie unter diesem Link.
Lösen Sie die Aufgaben im Applet!
2. Ökonomische Anwendung I
In der Ökonomie arbeitet man häufig mit Funktionen, um die Wechselbeziehung zwischen ökonomischen Grössen darzustellen und zu untersuchen. Zum Beispiel kann der Zusammenhang zwischen der Anzahl Arbeitsstunden und dem Erwerbseinkommen eines Arbeitnehmers wie folgt verstanden werden. Der Input x sind die Arbeitsstunden, und der Output y ist das Erwerbseinkommen. Die Funktion f (in diesem Kontext eine Lohnfunktion) ordnet nun für eine bestimmte Anzahl an Arbeitsstunden (Input) das Erwerbseinkommen (Output) zu.
Beispiel:
Der Input-Output Mechanismus interpretiert den obigen Zusammenhang wie folgt:
\[\begin{align} & x\to f\to y \\ & 0\to f\to 0 \\ & 1\to f\to 20 \\ & 2\to f\to 40 \\ & 3\to f\to 60 \\ & 5\to f\to 100 \\ \end{align}\]
Wenn also beispielsweise (gemäss der letzten Zeile) 5 Arbeitsstunden in die (Lohn-)funktion eingegeben werden, dann transformiert mir diese Funktion jenen Input um und es kommen 100 sFr. als Output raus. Die obige Tabelle lässt darauf schliessen, dass der Stundenlohn 20 sFr. ist. Daraus kann nun die Lohnfunktion abgeleitet werden:
\[y=20\cdot x\]
für x=0, x=1, x=2, x=3 und x=5. Das heisst, f(x) entspricht dem Mechanismus 20x.
Gemäss der Tabelle hat der Arbeitnehmer also (nur) die Möglichkeit, entweder, 0 Stunden, 1 Stunde, 2 Stunden, 3 Stunden oder 5 Stunden zu arbeiten. Deshalb nennen wir die möglichen Inputs x den Definitionsbereich der Funktion f und kürzen es mit \({D_f} =\){0, 1, 2, 3, 5} ab. Das D in \({D_f}\) steht für den Definitionsbereich und das f im Subskript zeigt an, dass damit der Definitionsbereich der Funktion f gemeint ist. Wenn die Funktion g genannt würde, dann würde der Definitionsbereich \({D_g} =\) {0, 1, 2, 3, 5} lauten. Gemäss der Tabelle können für y die Werte \(y=0\), \(y=20\), \(y=40\), \(y=60\) und \(y=100\) angenommen werden. Deshalb nennen wir die möglichen Outputs y den Wertebereich der Funktion f und kürzen es mit \({W_f} =\){0, 20, 40, 60, 100} ab. Das W in \({W_f}\) steht für den Wertebereich und das f im Subskript zeigt an, dass damit der Wertebereich der Funktion f gemeint ist. Wenn wir den Definitionsbereich der Funktion f vergrössern und alle Werte für x zulassen von 0 bis 24 (es kann maximal 24 Stunden pro Tag gearbeitet werden) und nicht nur die Werte für x in der obigen Tabelle, dann können wir gemäss der Lohnfunktion folgende Aufgabe lösen:
Aufgabe 2:
Gegeben sei die Lohnfunktion f(x) in Abhängigkeit der Anzahl Arbeitsstunden \[f(x)=20\cdot x\]
a) Wie hoch ist der Lohn bei 2.5 Arbeitsstunden?
Lösung: Wir setzen 2.5 für x in die Lohnfunktion \[y=f(x)=20\cdot x\] ein.
\[y=f(2.5)=20\cdot 2.5=50\]
Der Lohn beträgt also 50 sFr. bei 2.5 Stunden Arbeit.
b) Umgekehrt kann man auch fragen, wie viele Stunden ein Arbeitnehmer arbeiten muss, damit er einen Lohn von 80 sFr. hat.
Lösung: Zuerst formulieren wir die Frage mathematisch um. Bei welchem x nimmt y den Wert 180 an? Wir setzen also den Output y=180 und suchen jenes x, bei welchem dies erfüllt ist.
\[y=f(x)=20\cdot x=80\]
Nach x aufgelöst kommt x=4 heraus. Das heisst, der Arbeitnehmer muss 4 Stunden arbeiten, um einen Lohn von 80 sFr. zu erhalten.
3. Grafische Darstellung von Funktionen
Wir können die obige Lohnfunktion nun auch grafisch darstellen. Hierzu werden die einzelnen Input/Output Kombinationen aus der obigen Tabelle im Koordinatensystem abgetragen und als Punkte P(x,y) dargestellt. Damit erhalten wir insgesamt fünf Punkte:
\[{{P}_{1}}(0,0),{{P}_{2}}(1,20),{{P}_{3}}(2,40),{{P}_{4}}(3,60),{{P}_{5}}(5,100)\]
Den Punkt \({P_3}\) erhalten wir im Koordinatensystem, indem wir auf der x-Achse 2 Einheiten nach rechts gehen, und auf der y-Achse 40 Einheiten nach oben.
Verbindet man die fünf Punkte und verlängert die Gerade, dann erhält man die Lohnfunktion \[y=20\cdot x.\]
Grafisch können wir die Aufgabe 2 nun folgendermassen lösen. Bei Aufgabe a) musste der Lohn bestimmt werden für x=2.5. Das heisst, wir wählen auf der x-Achse x=2.5 und gehen senkrecht zur Lohnfunktion f(x) hinauf und lesen dann waagrecht auf der y-Achse den Lohn ab. Der Lohn beträgt für x=2.5 folglich 50 sFr.
Bei Aufgabe b) mussten wir bestimmen, wie lange gearbeitet werden muss, um einen Lohn von 80 sFr. zu erhalten. Hierfür gehen wir waagrecht auf der y-Achse auf der Höhe von 80 nach rechts bis zur Lohnfunktion. Dann lesen wir senkrecht auf der x-Achse den entsprechenden Wert für die Anzahl Arbeitsstunden ab. Der Arbeitgeber muss folglich 4 Stunden arbeiten, um einen Lohn von 80 sFr. zu erhalten.
Sie finden weitere Übungen zur grafischen Darstellung von Funktionen unter diesem Link.
4. Punkt auf einer Funktion versus Stelle einer Funktion
Bei der geometrischen Darstellung von Funktionen müssen wir eine wichtige Unterscheidung machen zwischen einem Punkt auf einem Funktionsgraphen versus eine Stelle einer Funktion. Wenn wir von einem Punkt sprechen, dann geben wir sowohl die x-Koordinate wie auch die y-Koordinate an. Beispielsweise haben wir in der obigen Grafik gesehen, dass der Punkt \({P_3}(2,40)\) durch die Koordinate x=2 und y=40 definiert ist. Dieser Punkt befindet sich auf dem Funktionsgraphen f(x). Wenn wir auf der anderen Seite eine Funktion evaluieren an einer bestimmten Stelle, dann nennen wir "nur" die x-Koordinate. So sagen wir beispielsweise, dass die obige Funktion f an der Stelle x=2 (und nicht im Punkt x=2) den Wert 40 annimmt.
5. Ökonomische Anwendung II
Die Firma A produziert x [in Mengeneinheiten] Autos. Bei der Produktion der Autos entstehen Kosten K [in sFr.]. Es ist offensichtlich, dass die Kosten von der Menge der produzierten Autos abhängen. Deshalb schreiben wir K(x), also die Kosten sind eine Funktion in x. Wir vermuten, dass die Kosten steigen, je mehr Autos produziert werden. Einen solchen positiven Zusammenhang zwischen den beiden Variablen x und K könnte wie folgt aussehen: \[K(x)=3000\cdot x\]
Hierbei haben wir angenommen, dass die variablen Stückkosten konstant 3000 sFr. betragen.
Diese Kostenfunktion impliziert, dass jedes zusätzlich produzierte Auto 3000 sFr. kostet. Beispielsweise kostet die Produktion von zwei Autos \[K(2)=3000\cdot 2=6000\]
also 6000 sFr. Bei einem Budget von 12000 sFr. können insgesamt \[\begin{align} & K(x)=3000\cdot x=12000 \\ & \Rightarrow x=4 \\ \end{align}\]
also vier Autos produziert werden.
Man könnte nun argumentieren, dass die Kosten bei null produzierten Autos nicht null sind, da möglicherweise Fixkosten in der Autoproduktion vorhanden sind. Diese Fixkosten repräsentieren Kosten wie beispielsweise die Miete der Fabrikhalle und/oder Maschinenparks. Diese Fixkosten fallen an, auch wenn nichts produziert wird. Die Kostenfunktion könnte dementsprechend wie folgt erweitert werden, wenn wir Fixkosten in der Höhe von 10000 sFr. annehmen: \[K(x)=10000+3000\cdot x\]
Im Vergleich zur vorhergehenden Grafik verschiebt sich die Kostenfunktion aufgrund der Fixkosten um 10000 nach oben (und zwar für jedes beliebige x).
Diese Kostenfunktion reflektiert, dass bei x=0 produzierten Autos die Fixkosten 10000 sind:
\[K(0)=10000+3000\cdot 0=10000\]
Eine andere Firma B könnte eine andere Kostenstruktur haben. Die Fixkosten seien in der Höhe von 9000 sFr. und damit um 1000sFr. tiefer als die Fixkosten von Firma A, aber gleichzeitig seien die variablen Stückkosten 4000 sFr. Firma B hat dementsprechend folgende Kostenfunktion:
\[K(x)=9000+4000\cdot x\]
Es ist wichtig zu sehen, dass wir immer noch die Wechselbeziehung zwischen den beiden Variablen x und K betrachten. Die Kostenfunktion der Firma B ist von der Struktur her ähnlich wie diejenige der Firma A. Beide Firmen haben nämlich lineare Kosten. Allerdings sehen die Funktionen doch unterschiedlich aus. Der Unterschied zwischen den beiden Funktionen sollte motivieren, eine allgemeine lineare Kostenfunktion aufzuschreiben:
\[K(x)=b+a\cdot x\]
In dieser allgemeinen linearen Kostenfunktion werden die Fixkosten mit b bezeichnet und die variablen Stückkosten mit a. Aus ökonomischen Gründen nehmen wir an, dass a>0 und b≥0. Das heisst, die variablen Stückkosten sind strikt positiv und die Fixkosten sind nicht-negativ. Im Folgenden werden wir a und b als Parameter bezeichnen. Je nach Firma können diese Parameter unterschiedliche Werte annehmen. Allerdings lassen wir mit der Bezeichnung a und b offen, welche Werte a und b genau annehmen. Der Parameter a bestimmt die Steigung der Kostenfunktion (je höher a, desto steiler die Kostenfunktion), der Parameter b bestimmt die Kosten an der Stelle x=0.
Ohne das Wissen der beiden Kostenfunktionen der Firma A und B kann aus der Grafik rausgelesen werden, dass Firma A höhere Fixkosten als Firma B hat, da bei x=0 die Kosten für Firma A höher sind. Zudem kann aus der Grafik rausgelesen werden, dass Firma A tiefere variable Stückkosten hat als Firma B, da die Kostenfunktion der Firma A flacher ist.
Was auch immer die Parameter a und b für Werte annehmen, wir können analog mit dieser allgemeinen Kostenfunktion arbeiten:
Aufgabe 3:
Die Kostenfunktion bei einer Autoproduktion lautet \[K(x)=b+a\cdot x\]
a) Wie hoch sind die Kosten an der Stelle x=5?
Lösung: \[K(5)=b+a\cdot 5\]
Die Kosten sind also b+5a (was auch immer a und b sind!) (Bemerkung: Je nach Firma kann eine Lösung für die Kosten explizit (durch eine einzige Zahl) angegeben werden. Hierfür bräuchten wir allerdings explizite Werte für die Parameter a und b.)
b) Wie viele Autos können bei einem Budget von 20000 sFr. produziert werden? \[K(x)=b+a\cdot x=20000\]
Lösung: \[x=\frac{20000-b}{a}\]
Die Anzahl produzierter Autos sind also (20000-b)/a (was auch immer a und b sind!) (Bemerkung: Je nach Firma kann eine Lösung für x explizit (durch eine einzige Zahl) angegeben werden. Hierfür bräuchten wir allerdings explizite Werte für die Parameter a und b.)
Sie finden weitere Übungen zur grafischen Darstellung von linearen (und anderen) Funktionen in Abhängigkeit der Parameterwahl unter diesem Link.